Un contrat d’assurance vie en unités de compte (UC) est un contrat qui garantit un montant indexé sur un actif financier (l’UC). Nous disons d’un tel contrat qu’il est muni d’une garantie plancher lorsque celui-ci verse en cas de décès le maximum entre un montant garanti (par exemple le montant initial investi) et la valeur de l’UC. De ce fait, l’engagement de l’assureur à la date t an cas de décès équivaut à : max(K, St) (= St + max(K-St, 0)), où K correspond au montant de la garantie plancher et St la valeur de l’UC au moment t. Dans la majorité des cas, avec ce type de produit, l’assureur cède 100% des sommes sous-risques auxréassureurs et ainsi, l’engagement du réassureur en cas de décès est équivalent à : max(K-St, 0). Nous constatons alors que l’engagement à la date t du réassureur en cas de décès sur ce type de produit est équivalent au flux terminal d’une option de vente européenne (put). A partir de cette dernière remarque naît toute la problématique du sujet à savoir : comment déterminer la prime unique d’un tel contrat ? Par l’application de principes actuariels, tel que le principe d’équivalence, ou financiers, en utilisant des méthodes de tarification à base d’options ? Ce sujet est d’autant plus intéressant que les prix obtenus suivant chaque approche - à hypothèses égales - peuvent être jusqu’à dix fois différents. Pour être en mesure de répondre à cette question, nous développons les deux méthodes de tarification de manière théorique. L’approche actuarielle adopte la démarche d’un actuaire qui souhaite tarifer un produit d’assurance vie, elle fournit une prime fondée sur le principe d’équivalence qui est égale à l’espérance de la somme actualisée des coûts futurs du contrat. La formule analytique de cette prime ressemble fort à la formule de tarification de Black-Scholes d’un put européen, à la différence qu’ici μ (le taux de rendement espéré de l’UC) remplace r (le taux sans risque). Pourtant, dans le cas présent, nous ne considérons pas la tarification d’un instrument financier mais appliquons simplement le principe d’équivalence bien connu en assurance vie. L’approche financière quant à elle, adopte la démarche d’un financier qui considère que le contrat est un actif contingent. Sa démarche va être simple : le décès de l’assuré en t génère le paiement d’un montant équivalent au flux terminal d’une option de vente européenne de prix d’exercice K et maturité t. Le prix du contrat est donc égal à une succession de prix de puts européens de maturités différentes. Or, il est aisé d’évaluer le prix d’un put par la célèbre formule de Black-Scholes et donc relativement simple de calculer la prime de notre contrat par l’approche financière. Les deux approches nous donnent donc des prix assez proches d’un point de vue analytique, la seule différence est que l’approche actuarielle fournit une prime sous la mesure de probabilité physique P et l’approche financière sous la mesure de probabilité risque-neutre Q. Mais nous ne savons rien quant aux différences de prix d’un point de vue pratique et surtout nous ne savons pas quel tarif appliquer. C’est pour répondre à cette dernière question que nous développons un chapitre dédié à la simulation stochastique. En effet, grâce à des simulations de type Monte-Carlo, nous pouvons nous donner une idée de la prime moyenne mais nous pouvons également observer la distribution des coûts futurs actualisés obtenus suivant chaque démarche. Suite à ces simulations, nous constatons que la « Prime Pure Unique Actuarielle » (PPUAct) est plus faible que la « Prime Pure Unique Financière » (PPUFi) (tant que μ est supérieur à r) mais PPUAct est plus volatile que PPUFi. Pour donner un tarif complet nous devons alors déterminer la Prime Technico-Financière (PTF), c’est à dire la prime qui prend en compte le coût d’allocation d’un capital dépendant de la volatilité des flux futurs, ce capital est encore appelé « marge de solvabilité ». Le principe retenu pour le calcul de PTF est la Net Present Value (NPV), qui correspond à la valeur actualisée des profits/pertes futurs où le taux d’actualisation correspond au taux de rendement espéré de l’actionnaire qui investit dans la compagnie , ce taux est aussi appelé coût du capital (COC). De ce fait, si les profits/pertes sont fonction des coûts futurs, des provisions technique futures et de la marge de solvabilité future, la seule question qui subsiste est alors : « comment évaluer la marge de solvabilité ? ». En effet, nous connaissons les coûts moyens pour une date t vus de 0 grâce à nos simulations et de même pour les provisions techniques moyennes. Afin de déterminer la marge de solvabilité pour une date t future, nous utilisons la mesure de risque « Conditional Tail Expectation » (CTE ou Tail-VaR) et l’appliquons à la distribution des coûts futurs actualisés en t. Cette marge de solvabilité pour la date t de seuil α représente alors la perte espérée en t sachant que cette perte appartient au quantile supérieur (1-α)% de la distribution de celle-ci. PTF prend alors en compte l’état moyen des provisions de chaque date t vu de 0 et le capital moyen adéquat au seuil α. Insistons sur le fait que les niveaux moyens de provisions et de capital sont vus de 0 et ne prennent pas en compte une éventuelle ruine entre deux dates, il ne s’agit donc pas de déterminer le montant des provisions et du capital à chaque date mais plutôt de se donner un niveau moyen de provisions permettant de se faire une idée du capital à allouer en conséquence. Nous obtenons ainsi une expression relativement simple pour PTF. Abstract With a unit-linked life insurance contract, the sum insured depends on the development of some stock. Such a contract is called unit-linked with a floorlet guaranty when the sum insured is the maximum between a guarantied amount (like the initial invested amount) and the value of the stock. Hence, the insurer’s liability at t is: max(K, St) (= St + max(K-St, 0)), where K correspond to the floorlet amount and St to the value of the stock at t. Typically, with this kind of contracts, the insurer let 100% of the sum at risk to the reinsurer and then, the reinsurer’s liability at t is: : max(K-St, 0). We can see that reinsurer’s liability on this type of product is equivalent to the terminal cash-flow of a European put option. This last remark shows us the interest of the subject: how to determine the premium of such a contract? By using actuarial principles, such that equivalence principle, or financial principles by using option pricing? This question is all the more interesting that the prices obtained according to each approach – with the same hypothesis – can be ten times different. In order to answer to this question, we develop the two pricing approaches in a theoretical way. The actuarial approach adopt the thought process of an actuary who wants to price a life insurance contract, it gives a premium based on the equivalence principle equals to the present value of the future costs of the contract. The analytical formula of this premium looks like the Black-Scholes pricing formula applied to European put option with the difference that μ (the expected rate of return of the stock) replace r (the risk-free rate). But, in this case, we do not consider the pricing of a financial instrument, we only apply, the well-known life insurance equivalence principle. The financial pricing adopts the approach of a trader who considers that the contract is equivalent to a contingent claim. Is thought process will be straightforward: the insured death’s at t generate a payment equivalent to the terminal cash-flow of a European put option with strike price K and maturity t. The price of the contract is then equal to a succession of European put prices with different maturities. As it is simple to evaluate the price of a put option by using the famous Black-Scholes formula, it is quite easy to calculate the premium of our contract with the financial approach. The two approaches provide us with quite close prices on the analytical point of view, the only difference is that the actuarial approach gives us a premium under the physical P probability measure and the financial approach under the risk-neutral Q probability measure. But we do not know anything about price differences on the practical point of view and especially anything about which pricing we have to apply. In order to answer to this last question, we develop a chapter dedicated to stochastic simulation. Indeed, with the Monte-Carlo simulations, we can have an idea of the average premium but also have a look to the distribution of the present value of future costs according to each approach. Following these simulations, we note that the “Actuarial Unique Pure Premium” (UPPAct) is less than the “Financial Unique Pure Premium” (UPPFi) (whereas μ is greater than r) but UPPAct is more volatile than UPPFi. To provide a full pricing, we must determine the Technical-Financial Premium (TFP): the premium that takes into account the cost of allowance of capital depending on the volatility of the future cash-flow, this capital is also called “solvency margin”. The principle chose to calculate TFP is the Net Present Value (NPV) that correspond to the present value of the futures gains/losses where the actualisation rate is equal to expected rate of return of the shareholder who invests in the company, this rate is also called “cost of capital” (COC). Hence, if the futures gains/losses are function of the futures costs, the futures technical reserves and the future solvency margin, the question is “how to determine the solvency margin?”. Indeed, we know the pattern of the future costs for t view from 0, and the same for the pattern of the futures technical reserves. To determine the solvency margin for a future date t, we use the risk measure “Conditional Tail Expectation” (CTE or Tail VaR) and apply it to the distribution of the value at t of the future costs. This solvency margin for t of level α represents the expected value of the loss given that the loss falls in the upper (1-α) tail of the distribution. Hence, TFP takes into account the mean state of the reserves for each date t viewed from 0 and the accurate capital to allocate at level α. We insist on the fact that the mean level of the reserves and the capital are viewed from 0 et do not take into account a ruin probability between two dates, we do not want to determine the reserves’ amount and the exact solvency margin but we want to give us a mean level of the reserves according to make us an idea of the capital to allocate consequently. We therefore obtain a quite simple expression for TFP. Mémoire complet >