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Aléa moral en assurance complémentaire santé : modélisation du comportement de l’assuré et du contrat optimal

Domaine(s)	Mémoire
formation(s)	ISFA () / resp.: / intervenant:

Informations sur les documents

Type de document	Mémoires
société	ISFA
Auteur(s)	OARDA C.
Numéro
Date de référence	12/03/2019

Résumé

L’enjeu de cette étude a été de modéliser le comportement du bénéficiaire d’assurance complémentaire santé face à la dépense de soin dans un contexte d’aléa moral. En proposant un algorithme de résolution du contrat optimal, cette étude apporte une réponse innovante aux actuaires qui souhaitent développer des produits d’assurance concurrentiels et durables. Cet algorithme identifie les caractéristiques du contrat optimal (prime, franchise et plafond) ainsi qu’un indicateur de l’effort choisi par l’assuré pour limiter son exposition au risque. Qualitativement, le contrat optimal est celui qui présente le meilleur compromis entre les composantes de profit de l’assureur (nécessaire notamment pour financer les coûts en capital), d’attractivité (pour que l’assuré reste durablement dans le contrat) et d’incitation (pour que l’assuré limite son exposition au risque). En présence d’aléa moral, l’assuré contrôle son niveau d’effort à diminuer son exposition au risque. L’assureur n’observe pas directement cet effort mais seulement un signal imparfait de celui-ci. Au sein d’un contrat incitatif, c’est-à-dire doté de franchises suffisamment élevées et de plafonds modérés, l’assuré averse au risque est incité à diminuer son exposition au risque. Son niveau de richesse espéré est alors positivement corrélé à l’effort étant donné que l’assurance n’est pas totale. L’effort fourni par l’assuré augmente ainsi stochastiquement avec son utilité de la richesse mais lui procure cependant une certaine désutilité, un coût de l’effort. L’utilité espérée de l’individu est donc la différence entre l’utilité espérée de la richesse et le coût de l’effort : c’est un compromis entre l’effort et la richesse espérée. Quantitativement, le contrat optimal est celui où l’assureur maximise son profit (différence entre la prime et le remboursement espéré) sous les contraintes de participation et d’incitation de l’assuré. Dans un tel contrat, l’assuré vérifie une contrainte de participation : son utilité espérée reste supérieure à son utilité de réserve, celle qu’il aurait s’il n’était pas assuré. L’assuré vérifie également une contrainte d’incitation qui consiste à choisir un niveau d’effort qui maximise son utilité espérée dans les conditions du contrat. Avant de construire l’algorithme de résolution du contrat optimal, nous avons développé un cadre théorique issu de la théorie des contrats appliqué au contexte de l’assurance complémentaire santé. Nous avons supposé que le signal imparfait de l’effort de l’assuré s’exprime comme l’opposé des frais réels en soins de santé (nets de remboursements de la Sécurité sociale ou d’autres assureurs complémentaires). Nous l’avons appelé réalisation (variable négative ou nulle). Puisque l’ensemble des remboursements par la Sécurité sociale et des organismes complémentaires ne peut dépasser les frais réels, la richesse de l’assuré est croissante avec la valeur aléatoire de la réalisation. De plus, la réalisation est corrélée positivement à l’effort de l’assuré. Pour la mise en place de l’algorithme, nous avons d’abord segmenté le portefeuille d’étude en classes de risques homogènes. Sur chaque segment, nous avons construit des indicateurs d’effort pour modéliser le choix de l’assuré à diminuer son exposition au risque, tant au niveau de la fréquence que de l’intensité de l’utilisation des garanties du contrat complémentaire santé. Nous avons ensuite étudié la structure de dépendance entre la réalisation et les indicateurs d’effort par estimation de copules paramétriques sur chaque segment. Nous avons de cette façon estimé une fonction de densité conditionnelle de la réalisation par rapport aux composantes de l’effort. L’estimation de la loi de la réalisation conditionnelle aux lois de l’effort sur chaque segment permet ainsi le calcul de l’utilité espérée de la richesse en fonction de l’effort, par intégration de l’utilité de la richesse en fonction de la variable réalisation conditionnellement à l’effort. L’initialisation de l’algorithme consiste, d’une part, à calibrer la fonction d’utilité de la richesse en fonction du degré d’aversion au risque de l’assuré par le calcul de la prime de risque du contrat initial et, d’autre part, à calibrer la fonction de coût de l’effort déduite des conditions de participation et d’incitation du contrat initial. L’algorithme s’achève par la résolution numérique du problème d’optimisation non linéaire de maximisation du profit de l’assureur sous les contraintes de participation et d’incitation.

Abstract

The aim of this study was to model the behaviour of a beneficiary of supplementary health insurance with regards to care expenditure in a context of moral hazard. By offering an optimal contract resolution algorithm, this study provides an innovative response to actuaries who wish to develop competitive and sustainable insurance products. This algorithm identifies the characteristics of the optimal contract (premium, deductible, and cap) as well as an indicator of the effort chosen by the insured to limit his exposure to risk. Qualitatively, the optimal contract is the one that presents the best compromise between the insurer’s profit components (especially necessary in particular to finance the cost of capital), attractiveness (so that the insured remains in the contract) and incentive (so that the insured limits his exposure to risk). In the presence of moral hazard, the insured controls his level of effort to reduce the exposure to risk. The insurer cannot observe directly this effort but only an imperfect signal of it. With an incentive contract; i.e., with sufficiently high deductibles and moderate limits, the risk-averse insured is encouraged to reduce his exposure to risk. The expected level of wealth is then positively correlated with the effort because the insurance is not total. The effort provided by the insured increases stochastically with the utility of wealth but imposes, nevertheless, a certain disutility, a cost of effort. The expected utility of the insured is therefore the difference between the expected utility of wealth and the cost of the effort: it is a compromise between effort and expected wealth. Quantitatively, the optimal contract is the one that maximizes the insurer’s profit (difference between the premium and the expected refund) under the participation constraint and the incitative constraint of the insured. In such a contract, the insured has a constraint of participation: his expected utility remains higher than his reserve utility (the utility he would have when not insured). The insured has also an incentive constraint which consists in choosing a level of effort that maximizes his expected utility under the terms of the contract. Before constructing the optimal contract resolution algorithm, we developed a theoretical framework based on the contract theory applied to the context of supplementary health insurance. We assumed that the imperfect signal of the insured’s effort is expressed as the opposite of the real healthcare costs (net of reimbursements from Social Security or other complementary insurers). We called it “output” (negative or zero variable). As all reimbursements (by Social security and complementary organisations) cannot exceed the real costs, the insured’s wealth increases randomly with the output. In addition, the output is positively correlated with the effort of the insured. For the implementation of the algorithm, we first segmented the study portfolio into homogeneous risk classes. In each segment, we introduced effort indicators to model the insured’s choice to reduce his risk exposure, both in terms of frequency and intensity of use of the complementary health contract benefits. We then studied the structure of dependence between the output and the effort indicators by estimating parametric copulas on each segment. In this way, we estimated a conditional density function of the output in relation to the effort components. The estimation of the probability distribution of the output conditional to the probability distribution of the effort on each segment allowed thus calculating the expected utility of the wealth as a function of effort, by integrating the utility of wealth as a function of the "output" variable conditional to the effort. The initialization of the algorithm consisted in calibrating the utility function of the wealth according to the degree of risk aversion of the insured by calculating the risk premium of the initial contract and calibrating the cost of effort function derived from the participation and incentive conditions of the initial contract. The algorithm ends with the numerical resolution of the non-linear optimization problem of maximizing the insurer’s profit subject to participation and incentive constraints.

Mémoire complet

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Mémoire_Actuariat_ISFA_Costin_OARDA.pdf

Lien permament : https://www.ressources-actuarielles.net/C12574E200674F5B/0/3AC941D712D517F0C125843D002CBCA9