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Modèle paramétrique de mortalité en fonction de l’âge, pour des applications à des portefeuilles de retraite

Domaine(s)	Mémoire
formation(s)	ISFA () / resp.: / intervenant:

Informations sur les documents

Type de document	Mémoires
société	AXA
Auteur(s)	DEBONNEUIL E.
Numéro
Date de référence	01/14/2015

Résumé

Ce mémoire actuariel a pour l’objet la modélisation de la mortalité en fonction de l’âge et de l’année courante, en vue d’applications assurantielles liées à la retraite. L’activité de retraite supplémentaire des assureurs les amène à analyser les données de mortalité historique de la population générale ainsi que de leurs assurés. A première vue, faire un mémoire sur ces analyses de mortalité historique est d’intérêt limité car cela a déjà été traité, diverses fois, par exemple en appliquant un taux d’abattement à une table ou en lissant les données de diverses manières. Cependant, à y regarder de près, les données parlent et résonnent avec la littérature : la relation entre taux de mortalité en échelle logarithmique et âge présente des « formes » caractéristiques. Divers aspects de la forme générale de la mortalité apparaissent : ils sont là, devant les yeux des actuaires et pourtant inconnus ? Dès lors, il y a intérêt à développer des méthodes qui pourront servir de support à une meilleure gestion actuarielle. Ainsi, le mémoire se distingue de la littérature en ces points :
- La modélisation se veut instructive et à portée générale – tirer des leçons de l’analyse consciencieuse des données pour améliorer la connaissance.
- La modélisation se veut fine – elle doit coller aux données – et en même temps robuste – afin de pouvoir potentiellement calibrer de petits portefeuilles.
- La modélisation se veut adaptée au business – en se concentrant sur les âges importants financièrement et en pondérant les taux de mortalité par les montants.
L’approche qui consiste à analyser les taux de mortalité de près pour les modéliser fait déjà l’objet d’une littérature très active sur des points très précis. Ainsi la forme des taux de mortalité des centenaires fait débat aujourd’hui. A des âges plus jeunes, l’analyse décrite dans ce mémoire conduit à identifier des creux, des bosses, qui se retrouvent dans diverses populations: ce que l’on pourrait croire être du bruit n’en serait pas. Trois phénomènes sont alors particulièrement marquants i) une forme de type logistique au-delà de 80 ans, allant vers 50 % dans nos analyses, ii) une convergence aux grands âges des taux de mortalité pour des populations différentes, un phénomène déjà décrit dans la littérature, iii) une « bosse de surmortalité prématurée » avant 70 ans, plus forte dans la population générale que dans la population assurée. Nous créons alors un modèle paramétrique qui représente ces trois aspects, et le calibrons sur diverses données. Le modèle n’est pas aussi simple qu’une fonction logistique mais il nous permet alors d’explorer diverses questions sous un autre angle : par exemple celui de la pertinence (ou pas !) des effets cohortes, y compris dans le cadre d’autres modèles. L’avantage d’un modèle paramétrique qui s’appuie sur le maximum de connaissances sur le sujet est également de le positionner avec très peu de paramètres. Ainsi, nous étudions comment générer des tables de mortalité d’assurés avec très peu de paramètres, voire un seul (la pente, le niveau s’ajustant en même temps), de façon à pouvoir obtenir un résultat cohérent même avec des données historiques commençant à l’âge de 60 ans, de faible volume voire pondérées en montants. En conclusion, une méthode a été développée. Alors que, pour des raisons de confidentialité, le mémoire ne présente pas d’analyse sur des populations assurées au-delà de données anglaises, nous espérons que la méthode développée permettra une meilleure connaissance et un meilleur suivi des taux de mortalité des retraités, et une optimisation de l’activité de retraite.

Abstract

This actuarial report aims at modeling mortality rates as a function of age and year, for insurance applications that are linked to retirement. The supplementary retirement business that insurers handle leads them to analyze historical mortality data of the general population as well as of the insured populations. At first, doing another report on historical mortality rates seems of limited interest: such a topic has been investigated many times for example by applying some reduction factor to an existing mortality table or by smoothing the data in various ways. However, when looking at them carefully, the data talk and echo with literature: mortality rates, in logarithmic scale and as a function of age, show characteristic « shapes ». Various aspects of the general shape of mortality appear: they are here, in front of the eyes of actuaries and yet unknown? Then, there is some interest in developing methods that can improve actuarial practices. Therefore, this reports aims at being different from the literature in the following aspects:
- The modeling aims at being instructive and of general utility – learning from a detailed analysis of data in order to improve knowledge; discovering intrinsic shapes of mortality rates: confirmed by transversal approaches, when a rapid analysis would see “noise in the data”.
- The modeling aims to be precise – it must fit the data – and at the same time robust – in order to potentially calibrate small portfolios.
- The modeling aims to be adapted to business – by focusing on ages that are financially important and by weighing mortality rates by amounts.
There is a vast literature already analyzing mortality rates in detail in order to model them, but on very specific topics. For example there are debates currently on the shape of mortality rates in centenarians. At younger ages, the analysis that is described in this report leads to the identification of hills and valleys that can be found across the general population of various countries, and in some insured portfolios: what may first look like noise isn’t. Three phenomena are then particularly striking: i) a logistic shape for ages above 80, with an asymptote estimated around 50 % at very high ages in the cases we observed, ii) a convergence at high ages for various populations, the phenomenon being already well described in the literature, iii) a « bump of premature mortality » for ages below 70, the latter being stronger in the general population than in the insured population. We then create a parametric model that represents those 3 aspects and calibrate it on various data. The model isn’t as simple as a logistic function but it allows exploring various questions from another angle; for example that of the relevance (or non-relevance!) of cohort effects included in other models. The advantage of a parametric model that is based on knowledge on the topic is also to position it with very few parameters. Hence we investigate how to build insured mortality tables with very few parameters, or even only one (the slope, while the level adjusts automatically) in order to have a result that is coherent even with historical data that start at age 60, that are of small volume or are weighted by amounts. As a conclusion, a new method has been developed. For confidential reasons this report doesn’t describe analyses on actual insured portfolios other than public English data, but we hope that the method will allow a better tracking of mortality rates for optimized retirement businesses.

Mémoire complet

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memoire.pdf

Lien permament : https://www.ressources-actuarielles.net/C12574E200674F5B/0/F5AB80707AE45B2CC1257DCD00510137