Couverture par quantiles

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Type de document Mémoires
société
Auteur(s) LE VALLOIS F.
Numéro
Date de référence 06/30/99

Résumé


Pour tout produit dérivé, il existe, en marché complet par définition, une stratégie d’investissement qui permet théoriquement de couvrir parfaitement les risques associés à ce produit. La richesse initiale nécessaire pour mettre en oeuvre cette couverture est alors le prix théorique du produit dérivé. Or, d’une part, le prix du produit peut résulter d’une négociation qui fait que le prix de vente est inférieur au prix théorique. D’autre part, l’intervenant qui souhaite couvrir la vente d’un produit dérivé peut vouloir ne pas investir entièrement le prix de vente dans sa stratégie de couverture pour des raisons diverses (élimination partielle du risque, allocation stratégique de capital,…). L’intervenant se doit alors de décider d’une stratégie de couverture partielle adaptée à son profil de risque et à la richesse initiale dont il dispose. Deux approches sont envisageables. La première suppose que la fonction d’utilité de l’investisseur soit connue. La stratégie de couverture retenue est celle qui maximise cette fonction d’utilité. Cependant, un investisseur ne connaît pas parfaitement celle-ci alors que la stratégie correspondante en dépend fortement. La seconde approche se base sur la notion de Value at Risk (VaR). Introduite pour contrôler les risques d’une position financière, elle se base sur une étude de la distribution des pertes et gains des investissements. Dans une approche dynamique de la Value at Risk, la couverture par quantiles consiste à définir une stratégie d’investissement ayant une probabilité de succès supérieure à un niveau fixé. Par probabilité de succès, il faut entendre la probabilité que la valeur du portefeuille de couverture majore à l’échéance la valeur du produit dérivé à couvrir. Ainsi, pour un modèle et un produit dérivé à flux positif donnés, le problème de couverture par quantiles consiste à déterminer la stratégie d’investissement qui maximise à richesse initiale donnée la probabilité de succès de la couverture. Les stratégies d’investissement possibles doivent être autofinançantes et telles que le processus de richesse reste positif au cours du temps. Dans QuantileHedging (1998), Föllmer et Leukert résolvent le problème précédent de couverture par quantiles. Leur méthode consiste à le reposer sous la forme d’un problème de test de type Neyman-Pearson dont la solution est classiquement connue. Ainsi, en marché complet, les auteurs expriment la probabilité maximale de couverture et la stratégie associée en fonction de la dérivée de Radon-Nikodym de la mesure martingale par rapport à la probabilité historique. En définitive, couvrir par quantiles un produit dérivé de manière optimale revient à couvrir parfaitement un nouveau produit obtenu en tronquant d’une certaine manière le flux contingent du produit initial. Toutefois, il faut étudier le problème en détails pour chaque nouveau modèle et pour chaque nouveau produit dérivé. Par ailleurs, la solution n’est souvent pas calculable. De plus, la résolution présentée par les auteurs ne permet pas d’étudier le cas d’un portefeuille composé de plusieurs produits dérivés de maturités différentes. Une autre approche pour résoudre le problème de couverture par quantiles pourrait être basée sur la théorie du contrôle optimal stochastique. C'est ce point de vue qui a été approfondi. En effet, cette
approche permet un traitement systématique des différents modèles et des produits dérivés puisqu’elle transforme la résolution du problème en la résolution d'une équation aux dérivées partielles. Changer le modèle ou le produit à couvrir se traduit par un changement des coefficients de l'équation différentielle et de sa condition terminale. De plus, le principe de la programmation dynamique permet d'aborder facilement la couverture optimale par quantiles d'un portefeuille composé de produits dérivés de maturités différentes. Dans la mesure où maximiser une probabilité revient à maximiser l'espérance d'une indicatrice, le problème de couverture par quantiles prend effectivement la forme d'un problème classique de contrôle optimal sans coût intégral avec pour fonction valeur la probabilité optimale de succès de la couverture. Or, la résolution d'un problème de contrôle optimal passe par l'application du principe de la programmation dynamique et aboutit sous certaines hypothèses à la résolution d’une équation différentielle dite de Hamilton-Jacobi-Bellman. L'égalité entre la solution du problème optimal et la solution de l'équation différentielle nécessite des hypothèses de régularité suffisante de la fonction valeur (ici la probabilité maximale de succès de la couverture). Dans le cadre du problème de couverture par quantiles, certaines hypothèses ont pu être validées grâce à la solution générale donnée par Föllmer et Leukert (concavité de la probabilité optimale de succès en fonction de la richesse initiale impliquant sa continuité en la même variable,…). D’autres hypothèses ont pu être validées après modification du problème initial. Ainsi, l'équation formelle de Hamilton-Jacobi-Bellman déduite du problème de couverture par quantiles a tout d'abord été écrite. Cette équation reste formelle au sens où il n'a pas été prouvé dans le cadre général que la probabilité optimale de succès est solution de cette équation différentielle. En effet, la régularité suffisante de la probabilité optimale de succès suivant certaines variables n'a pas pu être montrée. De plus, l'équation différentielle n'est pas uniformément parabolique ce qui rend l'existence d'une solution délicate à obtenir. Toutefois, l'égalité entre solution du problème de couverture et solution de l'équation formelle de Hamilton-Jacobi-Bellman a été mise en évidence dans des cas simples (flux terminal constant dans le modèle de Black et Sholes,…). L'étape suivante de l'approche par la programmation dynamique est la résolution numérique de l'équation de Hamilton-Jacobi-Bellman. La méthode utilisée est celle des différences finies explicite. Afin de vérifier les résultats numériques obtenus, nous nous sommes placés dans le cadre du modèle de Black et Scholes dans lequel les solutions peuvent être calculées facilement par la méthode de Föllmer et Leukert. Ainsi, un algorithme « naïf » de différences finies a tout d'abord été utilisé pour résoudre l'équation formelle de Hamilton-Jacobi-Bellman. En effet, cet algorithme reste « naïf » puisque aucun résultat de convergence de la solution numérique obtenue vers la solution de l'équation différentielle n'a été montré. Une comparaison des résultats issus de la résolution numérique de l'équation aux dérivées partielles aux résultats théoriques montre que la résolution n'est pas satisfaisante. La raison peut en être la validité de l'équation de Hamilton-Jacobi-Bellman qui n'est que formelle, ou également l'utilisation d'un algorithme « naïf » de résolution numérique. De là, une démarche plus rigoureuse apparaît nécessaire. Notamment, l'incertitude sur la régularité de la probabilité optimale de succès a incité à recourir à des solutions d'équations différentielles en un sens plus faible que le sens classique. Les solutions de viscosité sont particulièrement adaptées aux problèmes de contrôle optimal stochastique. Ainsi, ces solutions ne sont pas supposées être différentiables. Pour nous placer dans un cadre d'application des solutions de viscosité, le problème de couverture par quantiles a été réécrit en bornant les valeurs du contrôle (la proportion du portefeuille investie en sous-jacent). Ainsi, il a été montré que la solution du nouveau problème est l'unique solution au sens de la viscosité de l'équation de Hamilton-Jacobi-Bellman. Le principe consiste alors à rechercher numériquement cette solution de viscosité, puis à faire tendre la borne du contrôle vers l'infini. En pratique, la solution retenue est la limite observée (son existence est prouvée). Dans le cadre des solutions de viscosité, l'algorithme de résolution a été construit de manière à vérifier certaines propriétés classiques (monotonie, stabilité,…) dans le cadre de schémas numériques. Ces propriétés permettent à la solution numérique de converger vers la solution de viscosité de l'équation de Hamilton-Jacobi-Bellman et donc vers la solution du problème borné de couverture par quantiles. Les résultats obtenus sont satisfaisants dans la mesure où ils sont très proches numériquement de ceux obtenus par de Föllmer et Leukert. La couverture par quantiles a ensuite été appliquée à des cas concrets. Dans un premier temps, la pertinence de la couverture par quantiles a été testée au vu de données de marché de certaines sociétés françaises. Le principe consiste à entreprendre la couverture par quantiles à 95 % dans le cadre Black et Scholes d'une option d'achat européenne et à observer à maturité si la couverture a réussi ou non au vu des données de marché. En effectuant cette opération sur une longue période, la probabilité empirique de succès de la couverture a été calculée et s'est révélée être proche de la probabilité théorique recherchée (95 % ici). Dans un second temps, la couverture par quantiles d'un portefeuille d'options a été traitée. La méthode de résolution a été donnée grâce au principe de la programmation dynamique. C'est l'un des intérêts de ce principe que de pouvoir résoudre ce type de problème alors que l'approche de Föllmer et Leukert ne le permet pas. De plus, d'un point de vue pratique, la couverture par quantiles d'un portefeuille de produits dérivés est plus intéressante que celle d'une seule option. Après avoir appliqué la couverture par quantiles à des données de marché, il s'agit d'étudier la sensibilité des résultats obtenus à une modification des hypothèses principales posées jusqu'à présent. La première modification concerne les taux d'intérêt. Pour simplifier les choses, les taux d'intérêt avaient été supposés nuls jusque là. L'introduction d'un taux constant modifie que très légèrement l'équation de Hamilton-Jacobi-Bellman et ne complique pas sa résolution numérique. En effet, prendre un taux constant n'introduit pas de nouvelle source de risque. Un modèle de taux stochastique a ensuite été introduit. Cette fois, la résolution de l'équation aux dérivées partielles se complique par l'apparition d'une variable, la quantité de zéro coupons détenus. La seconde hypothèse levée concerne la complétude du marché. Au modèle Black et Scholes classique a été ajoutée une équation de diffusion sur la volatilité. Dans ce cas - en marché incomplet -, la notion de couverture par quantiles se révèle très intéressante. En effet, le prix théorique d'une couverture parfaite est souvent trop élevé alors qu'une couverture par quantiles permet de baisser énormément le prix de couverture tout en contrôlant le risque. Les résultats obtenus montrent que la stratégie de couverture est relativement sensible au passage à un modèle à volatilité stochastique. Différentes modifications du problème initial ont ensuite été étudiées. La première modification du problème initial a consisté à rechercher la stratégie de couverture optimale sous contrainte que la richesse ne s'écarte pas du prix de couverture parfaite de plus d'une marge fixée à l'avance. L'intérêt de cette modification est d'induire un problème plus réaliste, de pouvoir traiter maintenant des produits dérivés à flux quelconque et de simplifier la résolution. En effet, ce nouveau problème est parfaitement résolu si l'on connaît le prix de couverture parfaite du produit dérivé et si l'on peut résoudre le problème de couverture par quantiles dans le cas d'un flux terminal constant, c'est-à-dire un cas très simple. La seconde modification vise à pallier l'une des critiques majeures faites à la Value at Risk, c'est-à-dire de refléter uniquement la probabilité des pertes et pas leur distribution. Ainsi, le problème a été reposé en tenant compte d'une fonction de perte. Il s'agit de trouver la stratégie de couverture qui minimise l'espérance de la perte de la couverture. Les résultats obtenus par la programmation dynamique et par l'approche Neyman-Pearson dans le cas de la couverture par quantiles sont transposables dans le cas d'une fonction de perte. L'usage des solutions de viscosité donne des résultats numériques très proches de ceux fournis par Föllmer et Leukert. Finalement, chacune des approches de résolution du problème de couverture par quantiles présente des avantages et des inconvénients. Toutefois, l'approche par la programmation dynamique qui a été développée est, d'un point de vue pratique, systématique dans son utilisation face à plusieurs types de produits et de modèles et permet surtout de traiter facilement la couverture d'un portefeuille de produits dérivés. En définitive, cette étude a permis de valider l'approche par la programmation dynamique, d'appliquer à des données de marché la couverture par quantiles, à tester l'influence des hypothèses de base et à modifier le critère initial de couverture pour répondre à certaines limites. Un travail complémentaire consisterait à se pencher sur la justification théorique de l'approche par la programmation dynamique dans des modèles de sous-jacents et de taux d'intérêt plus compliqués que ceux considérés dans cette étude, ou encore d'étudier plus en détails l'influence du rebalancement de la couverture en temps discret en présence de coûts de transaction.

Lien permament : http://www.ressources-actuarielles.net/C12574E200674F5B/0/80F4EBF0B86C50F0C125756200662826