Bulletin Français d'Actuariat
Bulletin n°30 / vol. 15 / Juillet 2015 - Décembre 2015 Le BFA sur internet
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Une extension de l'inégalité de Markov - Application à l'évaluation de la value-at-risk pour les sinistres catastrophiques

PETAUTON P.


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En assurance une variable aléatoire telle que le montant d'un sinistre peut ne pas avoir de moment supérieur à 1. Ce cas se rencontre par exemple pour des distributions extrêmes, modélisées par la loi de Pareto par exemple. On doit supposer pourtant que ces variables ont une espérance mathématique afin que le risque soit assurable. La seule autre chose dont on soit certain est que les variables sont positives. Si on veut estimer la probabilité d'un grand écart de sinistralité en l'absence de variance, on dispose de l'inégalité de Markov. L'auteur de l'article améliore cette inégalité lorsque la variable Z est une somme de 2 variables aléatoires non négatives et indépendantes. . Ensuite il utilise le résultat pour établir une formule applicable à une somme de n variables possédant la même moyenne, que l'on suppose être égale à 1 (il suffit de prendre la moyenne comme unité monétaire). Cette dernière formule est améliorable et il propose une inégalité plus stricte mais non démontrée. Enfin, en considérant que le nombre des sinistres est régi par une loi de Poisson, il détermine numériquement une majorante de la value-at-risk en utilisant les deux inégalités précédentes et il établit une formule analytique simple pour le résultat.