Bulletin Français d'Actuariat
Bulletin n°16 / vol. 8 / Juillet 2008 - Décembre 2008 Le BFA sur internet
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Couverture d'options en présence de sauts

SOURLAS P.; GABRIEL F.


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Résumé



Malgré son succès, la formule de Black et Scholes est souvent critiquée pour son inadéquation aux réalités des marchés financiers. Plusieurs familles de modèles ont été ainsi proposées pour remédier à ses déficiences, conduisant notamment à relacher l'hypothèse de continuité des trajectoires des prix. L'objet de cet article est de (i) présenter, à partir d'un modèle discontinu simple, les outils mathématiques nécessaires pour étudier des processus discontinus ; (ii) présenter les modifications qualitatives induites par ces nouveaux modèles et notamment l'impossibilité d'obtenir une stratégie de couverture parfaite ; (iii) s'interroger sur les critères permettant de sélectionner les "meilleures" stratégies à mettre en place ; (iv) implémenter sur des simulations de trajectoires, et comparer suivant ces critères, différentes stratégies de couverture, statiques ou dynamiques, basées sur le seul sous jacent ou utilisant des options liquides ; (v) étudier, sur ces exemples numériques, l'impact, sur l'efficacité des stratégies de couvertures, des problèmes de robustesse aux erreurs de calibrage et à l'introduction de frais de transactions.

Abstract

While being widely used, the Black and Scholes model is often criticized for its inadequate description of the behaviour of financial markets. Several types of models have been introduced to redemy its deficiencies, some of which have discontinuous trajectories. The aim of this article is to (i) present the mathematical tools that are needed for the analysis of general discontinuous processes and apply them to a simple discontinuous model ; (ii) exhibit some qualitative changes induced by this new family of models, in particular the impossibility to totally hedge away risks ; (iii) examine some possible criteria for determining the "best" hedging strategy ; (iv) simulate trajectories of prices to assess, according to these criteria, the efficiency of different hedging strategies, static or dynamic, that rely solely on the underlying or on several options ; (v) evaluate with these numerical simulations the robustness of the hedging strategies to miscalibration or to the introduction of transaction costs.