Une nouvelle estimation des paramètres d'un modèle de crédibilité
PETAUTON P.
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Résumé
La mise en oeuvre des modèles de crédibilité de Bühlmann, de Bühlmann-Straub et de Jewell passe nécessairement par l’estimation de paramètres dits structuraux. Cette étape de calcul se heurte, dans les pratiques jusqu’ici adoptées, à des difficultés gênantes. Ainsi un des estimateurs d’une variance peut prendre une valeur négative, auquel cas on va le remplacer arbitrairement par zéro, valeur moins choquante mais toutefois invraisemblable. D’autre part dans le modèle homogène de Bühlmann-Straub le paramètre essentiel m, qui est l’espérance a priori de la variable objet de l’étude, est évalué par un « pseudo-estimateur » qui dépend des facteurs de crédibilité, eux-mêmes dépendants de m. Pour résoudre ces difficultés il est ici proposé une méthode générale d’estimation des paramètres par une recherche des moindres carrés des écarts entre les valeurs observées et leurs estimations par le modèle de crédibilité. Ceci ne suscite pas trop de complications dans le modèle de Bühlmann, lorsque le nombre d’observations est le même pour tous les risques. Si ce n’est pas le cas, ou lorsqu’on passe au modèle de Bühlmann-Straub avec la prise en compte de poids, la méthode des moindres carrés ordinaires conduit à des calculs trop complexes et donne encore pour m un « pseudo-estimateur ». La méthode nouvelle ici proposée consiste dans l’utilisation d’une méthodes de moindres carrés modifiée de telle sorte que la meilleure valeur de m soit la moyenne de toutes les valeurs observées, et que l’équation à résoudre pour trouver les autres paramètres soit la plus simple possible. Cette équation est du second degré, dont une seule solution conduit à un minimum de la fonction des écarts quadratiques. Des exemples chiffrés montreront la faisabilité de la méthode et montreront les différences avec les procédés traditionnels.
Abstract
The implementation of credibility models (Bühlmann, Bühlmann-Straub and Jewell) necessarily involves estimation of structural parameters. This calculation step, in the practices usually adopted, leads to annoying difficulties. For example a variance estimator can take a negative value, and in that case is arbitrarily replaced by zero, a less shocking value but still unlikely. On the other hand the essential parameter m of homogeneous model of Bühlmann-Straub, which is the a priori expectation of the variable under study, is evaluated by a “pseudo-estimator” which depends on the credibility factors, themselves dependent of m. To solve these problems here is proposed a general method to estimate the parameters by a least-squares differences between the observed values and the estimates of credibility. This does not cause too many complications in the Bühlmann model, when the number of observations is the same for all risks. If this is not the case, or when taking weights into account in the Bühlmann-Straub model, the method of ordinary least squares leads to overly complex calculations and still gives for m a “pseudo-estimator “. The new method proposed here is the use of least squares methods modified so that the best value of m is the average of all observed values, and so that the equation to find the other parameters is the simplest as possible. This equation is of the second degree, and only one solution leads to a minimum of the function of the squared deviations. Numerical examples demonstrate the feasibility of the method and show the differences with traditional methods.
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